外测度定义：



测度定义：


注意到，外测度满足的是次可数可加性，测度满足的是可列可加性。可列可加性就是我们通常理解的两个不同物体的面积或者体积等于它们各自的面积和体积之和。

关于外测度不满足可列可加性的问题，作者在《不可测集的构造过程》一文中叙述过。

那么，从外测度引出的测度概念，如何保证测度满足可列可加性呢？

测度必须满足如下条件：



满足上述条件的集合就是可测集，也就是具有测度。

以下是相关说明：




这里的CE就是E的补集Ec。


上图第二个不等号：比如，A和B的并集，再与C相交，得到的结果，肯定小于等于A与C相交再加上B与C相交得到的结果。


由此看到，Caratheodory条件将集合T分成了不相交的两部分，并且使得T的外测度等于这两部分的外测度之和，即满足可列可加性。

既然可以分成两部分，那集合T就可以分成n个不相交的部分。


由以上条件可以看出，一个集合E如果要有测度，那它就必须能够把任意一个集合T分成两部分，并使得这个集合T具有外测度。

再来看看外测度定义中的体积I的意义：



这个体积缩小到一维空间，那就表示任意一个形如（ai,bi）的集合都有外测度。

《不可测集的构造过程》一文中已经说明，有外测度的集合不一定满足可列可加性，而满足Caratheodory条件的集合则肯定满足可列可加性，前者叫不可测集，后者叫可测集。